3. 이차다항식 에 대하여 를 로 나누면 나머지가 -4이고 는 로 나누어떨어진다. 이때 를 로 나눈 나머지를 구하여라.
1. 34
처음 봤을때 그리 어렵게 보이진 않지만 만만찮은 난이도를 가지고 있습니다. 왜냐면 , 의 차수를 증가하는데 , 의 차수는 전혀 증가하지 않습니다. 따라서 곱셈공식의 변형을 쓸려해도 , 의 차수가 같이 증가해 버려서 머리속이 꼬여들기 시작하죠. 찬찬히 생각을 정리해 봅시다. 핵심은 , 의 차수만 증가 시켜야 한다는 것이죠 그래서 주어진 식에 를 곱해가면서 식을 만들어 봅시다.
전개해 봅시다.
여기서 이므로
식 (1)
계속해서 만들어 봅시다.
에서 양변에 를 곱하면
전개해 봅시다.
여기서 , 를 대입하면
식(2)
에서 양변에 를 곱하면
전개해 봅시다.
여기서 , 를 대입하면
식(3)
엇 그럼 식 (2)와 식 (3)을 연립하면 , 의 값을 구할 수 있습니다.
식(2)
식(3)
에서 가감법으로 연립방정식을 풀면 ,
자 그럼 이제 를 위와 같은 방법으로 구해 봅시다. 의 양변에 를 곱하면
전개해 봅시다.
여기에, , , 을 대입해 봅니다.
2. 8
이 문제도 만만치 않은 문제입니다. 보는순간 머지?? 라는 생각이 듭니다. 일단 이런 문제는 주어진 , 의 차수를 낮추는 방법을 고민을 해 보셔야 하는데 그 방법이 바로 보이진 않습니다. 제곱을 해서 나누어 가면서 찾아가 보셔도 됩니다. 저는 직접 대입해 가면서 풀었습니다.
와 의 거듭제곱의 차이는 무리수부분의 부호가 반대인 것외에는 차이가 없습니다. 따라서 든 든 하나의 식만 계산해 보시면 됩니다.
여기에서
이제 문제의 조건식을 들여다 봅시다.
그럼 대입해 볼까요?
무리식의 상등의 정리에서
많이 복잡하지만 이를 연립해서 계산하면
,
아마 실제 의도한 풀이는 아닐듯 합니다. 저 연립방정식을 푸는 것도 숫자가 딱 떨어지는게 아니구요
어느정도의 거듭제곱은 계산이 더 쉬울수도 있다는 점을 알아두시고
빠른 판단이 중요합니다. 저도 일단 주어진 차수를 보고 별로 복잡하지 않겠다라는 심정으로 접근했습니다.
3. 6
어려워 보이는 문제지만 다항식의 특성을 잘 체크해서 접근해 봅시다. 그러면 생각보다 쉽게 풀립니다.
일단 주어진 조건식을 나머지 정리 항등식으로 정리해 봅니다.
식(1)
식(2)
일단 는 2차 다항식입니다. 그 다음 식 (1) 에서 에 1을 대입해 보면 이므로 이차 다항식 는 를 인수로 가지지 않습니다.
그럼 식(2)에서 가 로 나누어 떨어지므로는를 인수로 가집니다. 또한 주어진 조건에서 도 인수로 가지게 되는데 식(1)에서 는 를 인수로 가지지 않으므로 는 곧 의 인수가 됩니다.
