I. 다항식 고난도 문제 10회

1. 을 만족시키는 모든 실수 , 에 대하여 이 항상 성립할 때, 상수 ,,에 대하여 

의 값을 구하시오.

2. 다항식 에 대하여 등식 이 의 값에 관계없이 항상 성립한다. 이때, 두 상수 ,에 대하여 의 값은?

3. 자연수 에 대하여 차 다항식 이라 할때, 

는 에 대한 항등식이다. 상수 ,,,에 대하여 의 값을 구하여라.

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모든 실수라는 조건이 있으므로 항등식임을 알 수 있습니다. 근데 ,,는 상수라고 되어 있으니 실제 변수에 해당하는 것은 , 입니다. 변수가 2개이면 골치가 아프므로 주어진 관계식인 을 이용해서 한문자에 대한 항등식으로 바꾸면 편히 접근 할 수 있습니다. 위 조건식에서 

이 조건식을 문제의 에 대입해 봅시다.

에서 내림차순으로 정리해 봅시다.

 자 그럼 이식이 모든 에 대해 성립해야 합니다. 아무값이나 마구 대입할 수 있는 를 잠재울수 있는 방법은?? 계수를 0으로 만들어서 없애면 되는거죠 그럼 다음의 조건식 3개가 나옵니다.

두번째 식에서 의 값을 바로 구할 수 있으니 차례대로 구해보면 됩니다.

이 식을 첫번째에 대입하면 그리고 마지막 식에 대입하면 

이제 다 구했으니 문제의 조건식의 답을 구하시면 됩니다.

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다항식 의 식이 주어져 있으므로 문제에 나타난 를 계산만 하면구해낼 수 있습니다.

이제 계싼해 봅니다. 좌변만 정리를 해 보면 됩니다. 

이제 양쪽의 계수비교를 해 봅시다.

하나씩 풀어봅시다.

마지막 식에서 을 대입해 보면 등식이 성립함을 알 수 있습니다.

따라서

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일단 주어진 정의에 따라 기호로 되어 있는 식을 풀어써 봅니다.

이렇게 바꿔어 놓고 보니까 익숙한 형태가 나오네요 계산에 자신있으시면 전개하셔도 됩니다만 수의 규칙을 보니 적절히 대입해서 찾아가셔도 됩니다. 하나씩 대입해 봅시다. 

이면

이제 

이면 근데 이므로 

자 그럼 이제 마지막으로 

이면 여기서 ,에서 

이제 마지막으로 값만 남았는데 에를 대입해도 좋지만 가 최고차항의 계수라는점을 착안하면

계수비교로 가 임을 알 수 있습니다. 이제 다 구했으니 문제에서 요구한 답을 구해봅시다.