I. 다항식 고난도문제 1회

1. 다항식 의 의 계수가 -2일때, 상수항을 구하시오. (단, 는 상수이다.)

2. 다항식를 로 나눈 몫을 , 나머지를 이라 할때, 를 로 나눈 몫과 나머지를 와 을 이용해서 나타내어라.

3. 일 때,

를 만족시키는 유리수 , 에 대하여 의 값은? (단, )

4. 아래 그림과 같이 점 O를 중심으로 하는 반원에 내접하는 직사각형 ABCD가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)

(나) 

직사각형 ABCD의 넓이를 x, y 의 식으로 나타내어라

5. , 을 만족하는 두 실수 x, y 에 대하여 의 값은?

1. 12

다항식의 문제 풀이는 기본적으로 특정 문자에 대한 내림차순 정리가 기본입니다. 문제를 보면  문자에 대해 내림차순으로 정리해서 문자 차수에 대한 정보를 정확히 파악 할 수 있어야 합니다. 주어진 식을 내림차순으로 정리하면

 

문제에서 1차항인 의 계수가 -2라고 했으므로 

위 방정식을 풀면

따라서 문제에서 상수항은  이므로 상수항은

2. 몫 ,나머지 

고등학교 항등식 부분에서 가장 중요한 부분중 하나인 나머지 정리 관련 문제입니다. 다음의 식은 모든 에 대해 성립하는 항등식입니다.

 <check point>

다항식를 로 나누었을때 몫을 , 나머지를 라 하면 다음의 식은 항등식관계 즉 항상 성립합니다.

여기서 나머지인 는 나누는 식인 보다 최소 한차수 낮아야 합니다. 즉 가 3차이면 는 2차이하 입니다.

단 위의 항등식은 갑자기 나온 식은 아닙니다. 중학교때 위와 같은 식의 관계를 자연수의 관계에서 직접 본적이 있죠

<check point>

8을 3으로 나누었을때 몫이 2이고 나머지가 2라면 다음의 식이 성립합니다.

따라서 다음의 일반식이 성립합니다.

자연수를 로 나누었을때 몫을  나머지를 이라하면 다음의 관계식이 성립한다.

나머지 은 보다 작아야 한다.

일단 나머지 정리 항등식에 따라 주어진 식을 적어 봅니다.

이제 문제에서 요구한

를 위의 식을 이용해서 나타내어 봅시다.

문제는 를 로 나눈 결과를 알아보기 위함이므로 일단 전개를 해 봅시다.

로 나누는게 핵심이므로 를 로 나눈 형태로 변형을 해야 합니다.

자 다시 위의 체크 포인트에 있는 식과 항등식과 비교해 봅시다. 몫은  이고 나머지는 입니다.

3. 17

주어진 식이 복잡해 보이는데 차근차근히 살펴 보는게 좋습니다. 분자는 6차식이고 주어진 조건식은 2차식이라 그냥 풀기는 어렵습니다. 게다가 주어진 방정식의 해가 가볍게 나오는 실수근이 아니므로 식 자체를 변환해야 합니다. 으로 문제의 식을 나누면 분자와 분모의 차수가 같은 쌍이 나옴을 착안 합니다.

이렇게 바꾸어 놓고 보니, 의 값만 알 수 있으면 곱셈 공식의 변형을 이용하면 풀어낼 수 있습니다.

<check point>

이 공식은 필수 공식입니다. 무조건 암기암기암기암기

또한 

의 관계식에서 ,  의 값을 알아낼 수 있습니다. 바로 로 나누면 관련 분수식이 나옵니다. 아 물론 0으로 나눌 수 없다는 얘기를 하실 수 있습니다만 저 방정식을 만족시키는 이므로 나누는데 문제가 전혀 없습니다. 자 그럼 하나씩 구해 봅시다.

에서  그래서 

그러면 의 값이 필요한데 또다른 곱셈공식의 변형을 알아 두셔야 겠죠 중3때 나온 것입니다.

<check point>

이 부분도 많이 씁니다. 무조건 이 부분도 다시 암기 체크해 두세요

위의 공식을 적용해서 의 값을 구해 봅시다.

엇 그럼 의 부호가 양일까요 음일까요?? 그것을 판단하라고 조건이 하나 

있습니다. 이것이죠

주어진 조건에서는 입니다. 저부분이 바로 안 떠오르시면 숫자 하나를 빨리 대입해 보시면 압니다.

고등수학에서는 예외가 잘 없습니다.

이면 

자 따라서 

이제 위의 관계식으로 주어진 문제식을 풀어 봅시다.

에서

따라서 답은 

따라서 

, 

4. 2(x+1)(y+2)

위의 그림을 이용해서 a, b를 x, y 에 대한 관계식으로 나타내어 봅시다.변의 길이는 다양하게 나타나 있지만 결국 a, b로 나타내는 것이죠

(가) 조건에서

(나) 조건에서

위 두 관계식을 연립 방정식으로 풀어 봅시다.

직사각형의 면적은 2ab 이므로

5. 478

의 값은 한번에 구할 수 없고 이보다 낮은 차수의 다항식의 곱으로 계산해 봅니다. 가 나올 수 있는 조합은 여러가지가 있습니다 , , 이 세가지가 있습니다만 , 등은 바로 구하기도 어렵고 식의 변형이 쉽지 않습니다. 다음의 정리된 식을 한번 봅시다.

여러 버전을 봐도 맨 아래 관계식이 접근 하기가 가장 좋습니다. 주어진 조건에서 계산하기가 가장 용이하기 때문이죠

곱셈공식의 변형에서 하나씩 구해 봅시다.

에서

에서

은 다음의 공식을 활용합니다.

에서

을 대입해 보면

따라서