I. 다항식 고난도 문제 4회

1. 양의 실수 , 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하여라.

2. 세 실수 , ,에 대하여 , 일때 의 값을 구하여라.

3. 아래 그림과 같이 반지름의 길이가 8인 원 O의 내부에 반지름의 길이가 각각 , , 인 세원 ,, 가 있다. 네원 ,,,의 중심이 한 직선위에 있고 원. 은 각 원 와 내접하며 원 는 원 ,과 동시에 외접한다. 원 ,, 의 넓이의 합이 색칠된 부분의 넓이와 같을 때, 의 값을 구하여라 (단, 원  ,,의 중심의 위치는 서로 다르다.)

1.

곱셈공식의 변형은 다양하게 활용되므로 무조건적인 암기가 되어 있어야 합니다. 일단 을 구할 수 있는 곱셈 공식의 변형식을 떠올려 봅니다.

따라서 필요한 식의 값은 , 입니다.

하나하나 구해 보도록 합시다.

주어진 조건식과 다음의 곱셈공식의 변형을 활용하면 의 값을 구할 수 있습니다.

에서

주어진 조건에서 이므로

이제 또다른 곱셈공식의 변형을 활용해서 의 값을 구해 봅시다.

그런데 문제에서  , 는 양의 실수이므로

이제 , 값을 구했으니 를 구해봅시다.

곱셈공식의 변형은 다항식의 계산에서는 필수적으로 알아야 되는 공식이니 다시한번 정리해 봅시다.

필수적인 기본 암기 공식입니다.

<check point>

2. 

바로 윗 문제에서 언급한 곱셈공식의 변형뿐 아니라 추가적인 곱셈 공식의 변형을 외워야 하는 문제입니다. 일단 주어진 조건식에서 

, 의 값이 나타나 있으므로 다음의 곱셈공식을 떠올려 봅시다.

문제에서 주어진 조건을 대입해 봅시다.

따라서

이 문제의 핵심은 라는 점입니다. 좀 복잡하지만 이 관계에서 또 하나의 곱셈공식의 변형이 존재합니다.

<check point>

에서

, ,가 실수이므로 위 등식이 성립하기 위해서는

이어야 합니다. 다음의 항등식의 원리를 체크해 둡시다.

<check point>

, ,가 실수일때 다음 등식을 만족시키는, ,가 0일때이다.

 

자 이제 라는 조건을 알았으므로 조건식에 대입해서 , ,의 값을 구할수 있습니다.

에서 

따라서

3. 16

도형 문제는 도형에 주어진 조건을 차분하게 하나씩 식으로 나타내어 봐야 합니다. 눈에 보이는 조건과 문제에 주어진 조건을 일단 식으로 나타내는데 주력해 봅시다.

세원 ,, 의 지름의 합이 16 입니다.

또한 문제의 조건에서 세원 ,, 의 넓이의 합이 색칠된 부분의 넓이와 같으므로

색칠된 부분의 넓이

큰원-세원 ,, 의 넓이의 합

세원 ,, 의 넓이의 합 

에서

따라서

을 구하기 위해 앞의 문제에서도 언급된 곱셈공식의 변형을 끌고 옵시다.

<check point>

, 에서

에서

따라서

이번 문제풀이에서 필수적으로 알아야 하는 곱셈공식을 다시한번 모아서 정리해 봅시다.

<check point>