I. 다항식 고난도 문제 3회

1. 세 다항식

, , 에 대하여 를 계산하라.

2. 다항식 의 전개식에서 에 대한 모든 항의 계수와 상수항의 합이 15일때,의 계수를 구하시오. (단, 는 상수이다.)

3. 오른쪽 그림과 같이 넓이가 다른 세 종류의 직사각형 종이 네 장을 이용하여 임을 보일 수 있다.

이와 유사한 방법으로 부피가 다른 몇 종류의 직육면체 나무토막을 이용하여 임을 보이고자 한다. 최소로 필요한 나무토막의 종류의 수와 전체의 개수를 순서대로 쓰라.

1. 

계산이라 고난도 문제 아니라고 하실수도 있지만 계산도 엄연히 하나의 영역이므로 계산해 보도록 합시다. 

이런 유형의 문제는 주어진 계산식을 간단히 한 다음에 대입하는게 원칙입니다.

에서 괄호를 풀고 하나하나 정리해 나가면

이제 정리된 식에 주어진 다항식을 대입해 봅시다.

어렵지 않은 계산문제긴 하지만 다시한번 계산의 원리를 체크해 두도록 합시다.

2. -19

항이 많을 경우는 필요한 항만 끄집어서 계산하면 되지만 여기서는 기껏해야 항이 6개 밖에 안되므로 그냥 다항식의 곱셈연산을 합니다. 왜냐면 답을 내야하는게 의 계수이기 때문입니다. 어차피 전개는 해야한단 말이죠 그럴꺼면 한꺼번에 전개하는게 낫죠

문제에서 언급한 에 대한 모든 항의 계수와 상수항읩 합은 에 1을 대입하면 구할 수 있습니다. 에 1을 대입하고 정리하면

에서 

의 계수는 이므로 위에서 구한 값을 대입하면

3. 갯수 8개, 종류 4가지

문제에서 너무 많은 흰트를 주고 있습니다. 정사각형 평면도형을 길이를 a, b 로 나누어서 곱셈공식을 정의하고 있죠. 아마 문제에서 보이는 직 육면체를 보고 한변의 길이가 a+b인 정육면체를 만들어 보면 어떨까?? 라고 생각하시는 분들이 많으셨을 줄 압니다. 고등수학에서는 문제풀이의 유사성이라는게 있긴 합니다. a+b인 정사각형의 면적을 이용해서 의 공식을 증명해 보였듯이 정육면체의 부피를 이용해서 증명하는거라고 짚어내고 그려서 보면 됩니다.

대충 그려보면 다음과 같습니다.

갯수는 총 8개 입니다.

종류는 총 4개 입니다.

가 1개

가 3개

가 3개

가 1개

근데 그려놓고 보니 이미 전개식에서 짚어낼 수 있죠?

를 구할때 

넓이가 인 사각형이  1개

넓이가인 사각형이  2개

넓이가 인 사각형이  1개

즉 항의 갯수가 사각형의 종류, 계수의 합이 총 사각형의 개수이죠

여기에도 똑같이 적용할 수 있죠 계수의 합은 입체도형의 갯수, 항의 갯수는 블록 종류의 갯수가 되는거죠