I. 다항식 고난도 문제 2회

1. 다항식 에 대하여 보기중 옳은 것만을 있는대로 골라라.

(가)의 계수는 3이다.

(나) 다항식 를 로 나눈 나머지를 라 할때 이다.

(다) 두 다항식 와 을 로 나눈 나머지는 같다.

2, 세 실수 , , 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가), , 적어도 하나는 3이다.

(나) 

의 값을 구하시오.

3. 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호AB위의 점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 선분 AQ와 선분 QB를 지름으로 하는 반원을 각각 그린다. 아래 그림에서 색칠된 도형의 넓이를 선분 PQ를 지름으로 하는 반원의 넓이를 라 하자. 이고 일 때 선분 AB의 길이를 구하여라.

1. (가), (나), (다)

(가)

이런 문제는 선택지를 생각대로 따르는게 필수입니다. 따라서 (가)와 (나)의 조건을 따질때 우선 주어진 의 전개가 필요 합니다. 무작정 전개하진 마시고 을 기준으로 알아보기 쉽게 전개해 봅시다.

에서 곱셈 공식에 따라 전개해 봅니다.

<check point>

전개해 보면

여기에서이 존재하는 항은 뿐이 없습니다. 나머지항에는 존재하지 않습니다.

전개해서 정리해 보면 

이므로

의 계수는 3이다.

(나)

위의 전개식에서 이 모든 항에 다 존재하는데 딱 상수항에만 없습니다. 따라서 를 로 나눈 나머지는 1입니다.

(다)

일단 

을 로 나눈 나머지는

 에서 나머지는 

계산에 자신이 있으시다면 를 계산하셔도 되지만 나머지 정리를 이용해서 좀더 생각을 해 보도록 합시다.

어엇 나머지가 이네요 그럼 제곱을 해 봅시다.

괄호로 묶인것을 하나로 보고 전개해 봅시다. 어디까지나로 나눈 나머지를 찾는 문제니까요

의 전개한 식에서 앞의 두항에 가 존재합니다. 그래서 를 으로 나눈 나머지는 

을 로 나눈 나머지와 같습니다. 

엇 그러고 보니 앞에서 를 로 나눗셈 할 필요가 딱히 없었군요 -_-;

2. 135

문제를 보는순간 오마이갓을 외칠지도 모르겠습니다. 조건이 너무나 없기 때문이죠 (나) 조건을 보니 정리를 해 봐도 딱히 나올것은 없고 (가) 조건을 잘 파 봐야 겠습니다. 적어도 하나가 3이라고 했으니 가장 쉬운 조건 부터 따져보죠 제일 중요한 접근은 가장 단순한 조건부터 따져보는게 필요합니다. 무조건 실제예를 단순한 것에서 부터 출발하셔야 합니다. 

1) 인 경우

(나) 조건식을 체크해 봅시다. 조건식이 성립합니다.

따라서, 

2) 세개중 두개가 3인 경우

ㄱ- 인 경우

나) 조건식을 체크해 봅시다.

에서 

ㄴ- 인 경우

위와 똑같이 조건식을 체크해 보면 

ㄷ. 인 경우

마찬가지로 (나) 조건식을 체크해 보면 

어?? 두개가 3인 경우에도 나머지 하나가 무조건 3이 나오고 . 이 되네요 

3) 세개중 한개가 3인 경우

ㄱ. 인 경우

(나) 조건식을 체크해 봅시다.

실수조건이라 와 의 값을 다 알 수는 없지만 일단 둘의 곱이 9라는 것을 알았습니다. 

따라서 이 이 경우에도 성립합니다.

ㄴ. 인 경우

(나) 조건식을 체크해 봅시다.

실수조건이라 와 의 값을 다 알 수는 없지만 일단 둘의 곱이 9라는 것을 알았습니다. 

따라서 이 이 경우에도 성립합니다.

ㄷ. 인 경우

(나) 조건식을 체크해 봅시다.

실수조건이라 와 의 값을 다 알 수는 없지만 일단 둘의 곱이 9라는 것을 알았습니다. 

따라서 이 이 경우에도 성립합니다.

즉 조건 (가)의 어떠한 경우라도 가 성립합니다.

따라서 

3. 16

차근하게 과 를 식으로 표현해 봅시다.

은 지름 AB의 반원의 넓이에서 지름 AQ의 반원의 넓이와 지름 QB의 반원의 넓이를 뺀 것이죠

 

문제에 주어진 조건식에서

정리하면

를 이용해서 윗식을 정리해 보면

정리하면

식 하나가 더 필요합니다. 원의 중심에서 보조선을 그어서 다음 그림을 그려 봅시다.

붉은 직각 삼각형에서 피타고라스 정리를 써 봅시다.

정리해 보면

 이식에서 이므로

이 식이 구해졌으므로 위에서 구한 와 를 연립해 봅시다.

 이제 곱셈공식의 활용을 이용해서 의 값을 구해 봅시다.