I. 다항식 고난도 문제 6회

1. 세 실수 , , 에 대하여 , 일 때 의 값은?

2. 아래 그림과 같이 , 인 직사각형과 선분 BC를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 BC위에 있는 한점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 Q, 선분 AD에 내린 수선의 발을 R이라고 할때, 직사각형 AQPR의 둘레의 길이는 10이다. 직사각형 AQPR의 넓이를 구하라.

3. 삼차다항식 가 다음 조건을 만족 시킨다.

(가) 

(나) 를 로 나눈 나머지는 이다.

이때 의 값을 구하여라.

1. 19

주어진 조건을 어떻게 사용해야 할진 모르겠지만 주어진 조건식에서 떠오르는 다음의 인수분해 공식을 써 봅시다.

따라서

  (1)

쓰고보니 여기에서 다음의 곱셈공식의 변형을 쓸 수 있네요

  (2)

주어진 조건식을 대입하면

 이제 이 식을 식(1)에 대입해 봅시다.

정리해 봅시다.

 (3)

정리해 놓고 보니 식(3)의 조건을 어떻게 사용해야 할까 고민이 됩니다.

그럼 문제를 변형해서 전개를 해 봅시다. 

이제 전개를 해 보겠습니다. 다음의 곱셈공식을 떠올려 봅시다.

그럼 전개해 봅시다.

엇 이렇게 정리해 놓고 보니 조건식과 식(3)을 활용해서 값을 다 알 수 있습니다.

2. 

일단 그림이 있는 경우는 조건에 따라 그림을 나타내어 봅니다. 문제에 나타난 조건들을 그림상에 표시하면서 조건식을 구해 보셔야 합니다.

일단 그려 볼까요??

문제에 조건에 따라 식을 만들고 도형에 나타나 있는 조건 하나를 더 나타내어 봅시다.

직사각형 AQPR의 둘레의 길이가 10이므로

 (1)

그림상에 직각 삼각형 보이시죠?? 피타고라스의 정리를 적용해 봅시다.

 (2)

모르는 문자가 2개인데 식도 두개가 나왔네요 문제에서 구하라는 직사각형 AQPR의 넓이는 로 표현됩니다.

식(2)를 전개해 봅시다.

 (3)

식 (3)을 정리해 봅시다.

 (4)

계속 반복하고 있는 곱셈공식의 변형을 이용하면 의 값을 구해낼 수 있습니다. 식(4)를 변형해 봅시다.

 식(1)에서 이므로

에서

3. -6

문제를 보니 어떻게 접근해야할지 감이 잘 안 섭니다. 차근하게 볼까요 우선 조건 (가)를 보면 그래도 이 나오는 의 값을 2개 알 수 있습니다. 이 되는 의 값을 안다는 것은 인수정리에 의해 인수를 안다는 장점이 있습니다. 에 1을 대입하면  또한  에 7을 대입하면 

이 조건으로 는 를 인수로 가집니다. 는 삼차다항식이라고 했으므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

이제 조건 (나)를 보도록 합시다. 나누는 식과 나머지가 있으므로 나머지 정리 항등식을 적어 보도록 합시다.

일반적인 문제라면 나누는 식인 이 0을 만족하는 의 값을 대입을 해야하는데 을 만족하는 의 형태가 복잡합니다. 대입해서 계산할때 너무 복잡할거 같아서 힘이 들거 같은데 식을 자세히 살펴 보니 나머지를 로 표현할 수 있으므로 좌변의 식에 있는 와 공통인수가 있다는 점을 착안합니다. 그럼 넘겨서 정리해 봅시다.

에서

에 5를 대입하면 양변이 0이 되어야 하는데 일때  이므로 가 를 인수로 가짐을 판단할 수 있습니다. 따라서 

의 관계가 성립함을 알 수 있다. 항등식이므로 계수 비교를 통해 관계식을 구해봅시다.

연립해서 풀어 봅시다.

, , 

에서