일단 이런 유형의 문제는 그냥 가볍게 생각해서 얻어지진 않습니다. 게다가 전체가 세제곱 밖에 안되죠?? 같은것을 세번 곱해본다 이런 생각을 하시는게 좋습니다. 너무 추상적으로 머가 있을꺼야 라고 생각한다면 너무 생각이 어렵습니다. 되도록 실제예를 토대로 규칙을 이끌어 낸다 이런 마인드로 접근하시는게 정답을 찾을 확률을 높입니다.
ㄱ) 일단 의 계수가 존재하는지 조차 봅시다. 세제곱을 풀어 봅시다.
위 다항식을 전개했을때 최고차항은 각 괄호에서 을 선택하면 되니까 입니다. 그럼 같은 원리로 그 다음 차수는 어떻게 될까요??을 2개 그 다음 을 1개 선택해서 이 됩니다. 따라서 항은 존재하지 않습니다. 그래서 계수는 0이 되는 것이죠.
그래서 ㄱ)은 맞는 말입니다.
ㄴ) 계산에 자신 있으시면 그냥 하셔도 됩니다만 마찬가지로 ㄱ)을 판단할때와 같이 나누어 봅시다.
을 만드는 경우만큼 계수가 생기게 됩니다. 이런 경우가 잘 이해가 되지 않으신다면
다음의 예시를 한번 살펴 볼까요??
그럼 1, 3, 3, 1이라는 계수는 어떻게 정해졌을까 생각해 봅시다.
이렇게 풀어 봅시다.
을 만드는 경우는 각 괄호마다 를 선택하는 경우 하나 뿐입니다. 그래서 계수가 1
를 만드는 경우는 각 괄호중 를 두번 선택하고 를 한번 선택하는 경우는 세가지가 나옵니다. , , 이렇게요 그래서 계수가 3이 됩니다.
를 만드는 경우는 각 괄호중 를 한번 선택하고 를 두번 선택하는 경우는 세가지가 나옵니다. , , 이렇게요 그래서 계수가 3이 됩니다.
을 만드는 경우는 각 괄호마다 를 선택하는 경우 하나 뿐입니다. 그래서 계수가 1
자 이와 같은 원리가 그대로 유지된다고 생각해 봅시다.
다음과 같이 을 만드는 경우가 존재합니다.
1) 각 괄호마다 을 선택하는 경우는 1가지
2) 세 괄호중 2개 1개 선택하는 경우는 3가지
3) 세 괄호에서 각각 , , 을 선택하는 경우는 6가지
따라서 총 경우의 가짓수는 10가지 입니다. 따라서 의 계수는 10이 됩니다.따라서 ㄴ)도 맞는 예시입니다.
ㄷ) 다들 아시다 시피 모든 항의 계수의 합은 다항식에 에 1을 대입하면 됩니다. 따라서 문제에 주어진 다항식에 1을 대입한 값은
그래서 ㄷ)도 맞는 말입니다.
2.
이런문제는 그냥 멍하게 보는 경우가 많은데 수학 문제에서 절대 그렇게 하지 마시고 숫자를 대입해서 살펴 봅니다.
게다가 일반 실수도 아니고 자연수 문제입니다. 대입하다보면 규칙성이 보입니다. 자 에 1부터 대입해 봅시다.
- 일 경우
- 일 경우
- 일 경우
- 일 경우
결국 이 정도로 전개해 놓고 보니 곱셈의 결과는 같고 , 가 교대로 나타나고 곱셈의 결과는 로 일정함을 알 수 있습니다.
3. 4
문제를 보면 이런 조건을 주고 의 값을 구해?? 라는 생각이 듭니다. 근데 차근하게 따져가야 합니다. 특히나 다항함수는 최고차항 즉 차수를 구하는게 굉장히 중요합니다. 그래야 미지수를 제대로 설정할 수 있죠. 일단 문제에서 주어진 조건으로 는 이차 다항식입니다. 그럼 나눗셈의 원리에 의해 는 1차 다항식이 됩니다. 그럼 (나)조건에서 를 1차 다항식인 로 나눈게 되니 나머지는 상수여야 합니다. 근데 나머지가 라고 적혀있네요 그럼 이차 다항식 와 나머지가 상수가 된다는 조건을 합쳐보면 라는점을 알 수 있습니다. 이제 (가) 조건에 따라 나눗셈을 해 봅시다. 더이상은 조건에서 끄집어 낼 게 없네요
그럼 다음과 같이 나머지 정리식을 쓸 수 있습니다.
따라서 라면, 가 됩니다.
그럼 (나) 조건에서 나머지 정리로 c의 값을 구해낼 수 있습니다. 나머지 정리 항등식을 써 봅시다.
