I. 다항식 고난도 문제 8회

1. 네 실수 , , , 에 대하여 , , , 일 때, 의 값을 구하라.

2. , 일 때,

, 을 만족시키는 정수 , 에 대하여 의 값을 구하시오.

3. 이차다항식 에 대하여 를 로 나누면 나머지가 -4이고 는 로 나누어떨어진다. 이때 를 로 나눈 나머지를 구하여라.

1. 34

처음 봤을때 그리 어렵게 보이진 않지만 만만찮은 난이도를 가지고 있습니다. 왜냐면  , 의 차수를 증가하는데  , 의 차수는 전혀 증가하지 않습니다. 따라서 곱셈공식의 변형을 쓸려해도  , 의 차수가 같이 증가해 버려서 머리속이 꼬여들기 시작하죠. 찬찬히 생각을 정리해 봅시다. 핵심은 , 의 차수만 증가 시켜야 한다는 것이죠 그래서 주어진 식에 를 곱해가면서 식을 만들어 봅시다.

전개해 봅시다.

여기서 이므로

 식 (1)

계속해서 만들어 봅시다.

에서 양변에 를 곱하면

전개해 봅시다.

여기서 , 를 대입하면

 식(2)

에서 양변에 를 곱하면

전개해 봅시다.

여기서 , 를 대입하면

 식(3)

엇 그럼 식 (2)와 식 (3)을 연립하면 , 의 값을 구할 수 있습니다. 

    식(2)

 식(3)

에서 가감법으로 연립방정식을 풀면  ,  

자 그럼 이제 를 위와 같은 방법으로 구해 봅시다. 의 양변에 를 곱하면

전개해 봅시다.

여기에, ,  , 을 대입해 봅니다.

2. 8

이 문제도 만만치 않은 문제입니다. 보는순간 머지?? 라는 생각이 듭니다. 일단 이런 문제는 주어진 , 의 차수를 낮추는 방법을 고민을 해 보셔야 하는데 그 방법이 바로 보이진 않습니다. 제곱을 해서 나누어 가면서 찾아가 보셔도 됩니다. 저는 직접 대입해 가면서 풀었습니다. 

와 의 거듭제곱의 차이는 무리수부분의 부호가 반대인 것외에는 차이가 없습니다. 따라서 든 든 하나의 식만 계산해 보시면 됩니다.

여기에서 

이제 문제의 조건식을 들여다 봅시다.

 그럼 대입해 볼까요?

무리식의 상등의 정리에서

 

많이 복잡하지만 이를 연립해서 계산하면 

, 

아마 실제 의도한 풀이는 아닐듯 합니다. 저 연립방정식을 푸는 것도 숫자가 딱 떨어지는게 아니구요

어느정도의 거듭제곱은 계산이 더 쉬울수도 있다는 점을 알아두시고

빠른 판단이 중요합니다. 저도 일단 주어진 차수를 보고 별로 복잡하지 않겠다라는 심정으로 접근했습니다.

3. 6

어려워 보이는 문제지만 다항식의 특성을 잘 체크해서 접근해 봅시다. 그러면 생각보다 쉽게 풀립니다.

일단 주어진 조건식을 나머지 정리 항등식으로 정리해 봅니다.

 식(1)

 식(2)

일단 는 2차 다항식입니다. 그 다음 식 (1) 에서 에 1을 대입해 보면 이므로 이차 다항식 는 를 인수로 가지지 않습니다.

그럼 식(2)에서 가 로 나누어 떨어지므로는 를 인수로 가집니다. 또한 주어진 조건에서 도 인수로 가지게 되는데 식(1)에서 는 를 인수로 가지지 않으므로 는 곧 의 인수가 됩니다.

근데  는 2차 다항식이므로 를 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

근데 식 (1) 에서 이므로 입니다. 

따라서 

자 이제 나머지 정리 항등식을 적어보고 문제에서 요구하는 답을 구해 봅시다.

에서 에 -2를 대입하면

따라서 나머지는 6 입니다.