I. 다항식 고난도 문제 9회

1. , 일 때, 의 값을 구하라.

2. 를 만족시키는 실수 , 에 대하여 의 값을 구하라.

3. 다항식 을 , , 로 나눈 나머지를 각각 

, , 라 할때, 를 로 나눈 나머지를 구하라.

1. 8

일단 문제의 조건을 어떻게 써서 문제를 풀어야 할지 어려울 수도 있는데 우선 구해야할 식을 보고 익숙한 형태로 바꾸어 보는게 좋을듯 합니다.

이렇게 바꾸어 보니 문제에서 구해야 하는 식을 전개하는게 편해지고 왠지 주어진 조건의 활용도 좀더 눈에 잘 들어올 듯 합니다.

다음의 곱셈공식을 활용하여 우선 전개해 봅시다.

<check point>

문제의 조건식인 , 은 바로 쓰임새가 보이니 두번째 조건식을 이용해서 나머지 부분의 값을 구해 봅시다.

에서 통분해 보면

이제 이 식을 정리해 보면

엇 그러면 문제에 주어진 수식의 값을 구할 수 있겠네요 위에 전개한 식을 다시 소환해서 정리된 조건을 대입해 봅시다.

2. 640

보는순간 머 어쩌라는 거지?? 숫자들이 왜 이렇게 난잡하지?? 라는 생각이 들 수가 있습니다. 근데 가만히 보면 

, 이고 거기에 제곱이라 그럼 곱셈공식을 활용할 여지가 생깁니다.

주어진 등식에서 를 구해봅시다.

정리하면

또 마찬가지 방법으로 도 구해 봅시다.

정리하면

따라서 

3. -4

주어진 다항식의 차수도 그렇고 쉽게 접근이 되지 않는 문제입니다.  직접 나누기도 차수의 차가 커서 애매하고 일단 그러면 나머지 정리 식을 써서 생각해 봅시다. 왠지 나누는 식의 형태가 ,  의 형태로 , 을 이용할 수 있는 형태니까 먼가 이용할 수 있다고 감을 잡아 봅시다.

그러면 여기에서 을 만족하는 의 값을 라 하고 위식에 대입해 봅시다. 위에서 언급한 대로 입니다.

여기에서 에서

는 허수이고 의 계수는 전부다 실수이므로 일 수 밖에 없습니다.

이제 두번째 조건도 똑같은 방식으로 찾아 봅시다.

그러면 여기에서 을 만족하는 의 값을 라 하고 위식에 대입해 봅시다. 위에서 언급한 대로 입니다.

여기에서 에서

는 허수이고 의 계수는 전부다 실수이므로 일 수 밖에 없습니다.

이제 마지막 도 마찬가지 방법으로 구해봅시다.

이제 여기서 어떻게 해야할지 좀 생각해 본다면 라고 치환해 본다면 로 나누는 경우랑 유사해 진다는 점을 착안합니다. 

주어진 식을 의 관계로 나머지 정리식을 고쳐 써 봅시다.

에서

그러면 여기에서 을 만족하는 의 값을 라 하고 위식에 대입해 봅시다. 위에서 언급한 대로 입니다.

여기에서 이므로

그럼 여기에서 다시 치환의 조건을 활용해 봅시다. 에서

따라서 

다 구했네요 

를 로 나눈 나머지는 나머지 정리에 의해 의 값이므로