I. 다항식 고난도 문제 11회

1. 다항식 에 대하여 다항식 의 전개식에서 의 계수를 구하라.

2. 두 다항식 , 에 대하여 다음의 조건식이 성립한다.

, 일 때, 다항식 의 전개식에서 상수항을 제외한 모든 항의 계수의 합을 구하시오

3. 삼차다항식 가 다음 조건을 만족시킨다

(가)

(나) 

를 로 나눈 나머지를 구하라

1. 4

일단 전개를 해야겠네요 +기호를 기준으로 앞부분과 뒷부분을 나누어서 전개를 하면 됩니다. 

- 앞부분

계산에 자신이 있으시면 그냥 전개를 하셔도 되지만 효율적으로 해 봅시다. 공통인 를 문자하나로 치환해서 합차공식으로 전개를 해 봅시다.

라 두면

자 이제 를 원래식인 로 바꾸어 봅시다.

- 뒷부분

앞부분부터 합차공식으로 순차적으로 전개해 나갑니다. 

자 이제 합쳐 보겠습니다.

합쳐서 계산했더니 그래도 간단한 모양으로 나왔으니 을 계산해 봅시다.

따라서 의 계수는 4이다.

2. 169

문제에 주어진 조건식을 보면 딱 연립방정식 처럼 생겼습니다. 따라서 가감법으로 두식을 연립해서 다항식 , 를 계산해 봅니다.

 에서

 

즉 

위 조건식에 를 대입하면

 이식을 에 대해 풀어보면

자 이제 

이제 을 전개해도 됩니다만 다항식의 모든 계수의 합은 에 을 대입한 값이 되는데 여기에서는 상수항 포함된 값입니다. 그런데 다항식의 전개식에서 상수항은 구하기가 쉽습니다. 부호포함해서 상수항의 거듭제곱을 하면 되죠. 이제 문제의 조건을 맞춰서 구해 봅시다.

에 을 대입하면 

상수항의 값은 

따라서 답은 상수항 포함 모든 계수의 합 - 상수항의 값 이므로

3. 

나머지 정리 항등식 문제 입니다. 일단 나머지 정리 문제의 기본은 나머지 정리 항등식을 써놓고 생각하는 것이죠

여기서 일단 는 조건이라도 있지만 몫인 가 눈엣가시죠 그래서 몫인 를 없앨 수 있도록 하는 의 값을 찾아서 대입해서 미지수인 , 의 값을 찾는게 풀이의 핵심입니다. 나누는 식인 이 다음과 같이 인수분해 됩니다.

엇 저식을 보니 몫인 를 없앨 수 있도록 하는 의 값이 ,임을 알 수 있습니다. 

나머지 정리는 항등식이므로 주어진 나머지 정리식의 에 ,를 대입해 봅시다.

 에서

, 

그러면 , 값만 알면 풀어낼 수 있다는 결론이 나옵니다.

그럼 이제 문제의 조건을 봅시다. 

(나) 조건식을 보면 에 을 대입하면 의 값을 알 수 있고 의 값을 알아내면 같은 과정으로 도 계산할 수 있습니다.

(나)식의 에 을 대입해 봅시다.

이제  에 을 대입해 봅시다.

이제 다 구했으니 뒤의 조건에서 연립방정식을 풀어 봅시다.

위의 조건 , 에서 다음의 연립방정식이 나옵니다.

에서 ,입니다.

따라서 나머지의 식이 이므로 나머지는