I. 다항식 고난도 문제 12회

1. 자연수 n에 대하여 n차식 를 다음과 같이 정의하자

이때 다음의 등식이 에 대한 항등식이 되도록 상수 , , , 를 정할때 의 값을 구하라.

2. 을 로 나눈 몫을나머지를 라 하고. 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 , , 을 로 나눈 몫을나머지를 라 하자.

이때, 일 때, 자연수 의 값을 구하여라.

3. 자연수 n에 대하여 가로의 길이가 

, 세로의 길이가 인 직사각형 모양의 바닥이 있다. 한변의 길이가 인 정사각형 모양의 타일로 이 바닥 전체를 겹치지 않게 빈틈없이 깔려고 한다. 이때 필요한 타일의 갯수를 구하여라.

1. 5

차근하게 접근을 해 봅시다. 너무나 기호로 나타나 있는데 중요한 점은 문제에 나타난 를 이용해서 주어진 조건식을 구체적으로 나타내어 봅시다. 기호만 보고 있어봐야 나타나는건 없습니다. 

에서

엇?? 위의 조건식을 보니 수치대입법과 계수비교법을 적절히 조합하면 풀어낼 길이 보입니다.

을 대입하면

에서 

을 대입하면

 정리하고 에서 이므로 

을 대입하면

이 식에 앞 조건에서 구한 이므로 을 대입하면

이제 값을 구해봐야 하는데 대입하기 보다는 계수 비교를 해 봅니다.

좌변은 최고차항이 2차 입니다. 하지만 는 3차항의 계수죠 주어진 등식은 항등식이므로 입니다.

이제 다 구했네요 문제에 나온 조건식을 구해봅시다.

2. 99

이런 문제 보면 오마이갓이라는 얘기가 그냥 나오죠 이런 문제를 만들어 내는 출제자들에게 경의를 표하면서 나머지 정리 항등식 문제를 접근해 봅시다. 나머지 정리 항등식 문제는 접근법의 90%정도가 일단 나머지 정리식을 적어두고 생각해 보는 것입니다. 문제의 조건을 따라가 봅시다.

 자 이제 다음 단계의 조건식으로 가 봅시다.

이렇게 봐서는 전혀 알수가 없습니다. 이 식을 위의 조건식에 대입해 봅시다.

먼가 규칙이 보일듯 말듯 한데 에 대한 나머지 정리를 다시 한번 써 봅시다.

자 이 관계식도 위의 식에 대입해 봅시다.

규칙을 보니 몫에 가장 높은 차수가 붙고 나머지는 앞에 계수가 이 붙어 있습니다. 그럼 이러한 규칙으로 을 계속해서 나머지 정리의 규칙으로 나타내어 보면 다음과 같다는 점을 알 수 있습니다.

문제에서 구해야 하는 조건식은 이므로 짝수차항만 남겨야 합니다. 엇 그럼 적절한 수를 대입해서 연립하면 구할 수 있습니다. 이런식의 스킬은 나중에 또 써먹을 일이 있습니다. 잘 봐두시면 좋겠네요 

일때

일때

위 두 조건식을 더해 봅시다. 그럼 짝수차항만 남겠죠??

따라서

따라서 

3. 

크게 어려운 문제는 아닙니다. 가로로 놓이는 타일의 갯수와 세로로 놓이는 타일의 갯수를 구하시면 됩니다.

1) 가로의 길이를 인수분해 해 봅시다.

그런데 타일의 길이가 이므로 가로로 놓이는 타일의 갯수는 개가 됩니다.

2) 세로의 길이를 인수분해 해 봅시다.

마찬가지로 타일의 길이가 이므로 세로로 놓이는 타일의 갯수는 개가 됩니다.

그래서 문제에 주어진 직사각형 모양에 깔리는 타일의 갯수는 

가로의 갯수 X 세로의 갯수 이므로