I. 다항식 고난도 문제 14회

1. 다항식 의 전개식에서 의 계수를 , 의 계수를 라 할 때, 다항식

의 전개식에서 계수를 ,를 사용해서 나타내어라.

2. 일 때, 자연수 에 대하여 을 다음과 같이 정의하자.

이때 의 값을 계산하라.

3. 에 대한 십차 다항식 에 대해 를 ,,,,,,으로 나누었을때의 나머지가 2, 8, 18, 32, , 200이다. 이때 일때, 를 로 나누었을때의 나머지를 구하여라.

1. 

먼가 간단하게 풀리는 문제는 아닌거 같네요 주어진 식을 전개하기도 어려운 문제입니다. 항이 4개짜리 3제곱 식이라니 게다가 계수를 ,를 사용해서 나타내어라는 말을 보면, 계산하라는 의도는 아닌거 같습니다.  일단 문제에 나타난 전개식을 풀어서 생각을 해 봅시다.

이렇게 전개를 해 보니 의도를 알 수 있겠네요 일단 전개가 가능한 

을 전개해서 좀더 명확하게 살펴보도록 합시다.

자 그럼 문제에서 요구한 계수를 구하기 위해 필요한 항을 뽑아내어서 계수를 계산해 봅시다.

에서 을 계산하기 위해서는

 의 항의 항

이때의 의 계수는 

 의 항의 항

이때의 의 계수는 

 의 항의 항

이때의 의 계수는 

이 모든 경우를 다 더해야 하므로 

2. 0

일단 과 조건식인 사이의 관계를 알아내어야 합니다. 이라고 정의된 식은 다항식이고 조건식은 분수식이므로 분수식을 다항식으로 바꾸어 봅시다. 

식의 양변에 를 곱하면 이라는 방정식이 나옵니다. 엇?? 근데 어디서 많이 보던 방정식이죠??

양변에 을 곱해 봅시다.  그리고 문제에 주어진 방정식을 이용해서 을 간단히 나타내어 봅시다.

즉 

그리고 주어진 방정식에서

, 이므로

 

자연수를 대입해 보면서 규칙을 찾아 봅시다.

보니까 부터 합하면 6의 배수가 될때마다 합이 0이 됩니다. 

그리고 6의 배수끼리 값이 서로 같습니다. 이러한 값의 규칙에 따라 2000에 가장 가까운 6의 배수 부터 찾습니다.

 2000에 가장 가까운 6의 배수는 1998이므로 

반복 규칙에 따라

3, 300

삼차 이상만 되어도 힘든데 십차 다항식이라니 ㅠㅠ 거기다가 숫자도 이상하게 변하고 있구요 하지만 이런 경우는 나머지의 변화에 규칙이 존재 합니다. 그걸 보기가 힘들어서 그렇죠. 곧 접해볼 수열에서는 대놓고 나오는 것이니 변화를 체크해 봅시다. 나머지 변화를 다음과 같이 바라봅시다.

2, 8, 18, 32, , 200 에서 

의 관계가 있음을 눈치채야 합니다. 쉽지는 않죠

그럼 나머지가 들어오는 정의역의 값에 따라 규칙적으로 움직이므로 은로 나누어 떨어진다고 볼 수 있습니다. 근데 최고차인 10차항의 계수는 모르므로 그 계수를 라 하고 나머지 정리식을 써 봅시다.

아마 는 문제의 조건인 에 따라 구할 수 있습니다. 에 을 대입해 봅시다.

에서

굳이 계산을 하기 보다는 문제에서 구하라는게 를 로 나눈 나머지이므로 의 값입니다.

이제 

에서 

에 11을 대입해 봅시다.

따라서