I. 다항식 고난도 문제 15회

1. 삼차다항식 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)

(나) 를 으로 나눈 몫과 나머지가 같다.

를 으로 나눈 나머지를 라 하자. 일 때, 의 값을 구하시오.

2. 두 다항시,에 대하여 를 로 나눈 나머지가 -5이고, 을 로 나눈 나머지가 10이다. 를 로 나눈 나머지를 구하여라.

3. 두 양수 ,에 대하여 그림과 같은 직육면체 P, Q, R, S, T의 부피를 각각 p, q, r, s, t라 하자. 일 때, 

의 값은?

1. 26

먼가 조건은 많이 준거 같은데 막상 풀이가 딱하고 떠오르는 문제는 아니네요 일단 (가)조건은 미지수 하나를 구하라고 준것 같고 (나) 조건을 이해하는게 핵심인것 같습니다. 일단 를 이차다항식인 으로 나누었기 때문에 나머지는 일차입니다. 그 나머지를 라 해 봅시다. 그럼 다음과 같이 나머지 정리 식을 쓸 수 있습니다. 자 써 보고 생각해 봅시다.

여기에 (가) 조건을 써 봅시다. 그럼 미지수를 하나 줄일 수 있죠

 

따라서 의 관계가 성립하니 다시 원래 식에 대입을 해 봅시다.

자 이렇게 놓고 보니 문제에서 를 으로 나눈 나머지를 찾는 것이므로 가 있으면 로 묶어봅시다.

이렇게 놓고 보니 보이세요?? 를 으로 나누었을때의 몫이 이고 나머지가 입니다. 

미지수 가 있긴 한데 이녀석을 구하라고 문제에서 라는 조건을 주었으니 활용해 봅시다.

따라서 이므로 그래서  이를 나머지 식에 대입하면

이제 를 구해 봅시다.

2. 9

복잡해 보이지만 자세히 뜯어보면 나머지 정리를 가정한 다항식의 곱셈공식의 변형문제입니다

를 로 나눈 나머지가 -5 라고 문제의 조건에 나타나 있으므로

을 로 나눈 나머지가 10이라고 마찬가지로 문제의 조건에 나타나 있으므로

곱셈공식의 변형을 떠올려 볼까요??

에서 ,이라고 생각해 봅시다. 그럼 다음의 등식이 나옵니다.

나머지 정리식으로 위에서 파악한 조건식 값을 대입해 봅시다.

3. 1

일단 그림을 보고 주어진 조건식에 따라 ,로 나타내어 봅시다.

다섯 육면체의 부피관계가 와 같으므로

쓰긴 했는데 멀 어떻게 해야 의 값이 보이는지 알수가 없습니다. 곱셈 공식의 변형을 활용하려고 다음과 같이 식을 변경해 봅시다.

 그런데 이렇게 변경해 봐도 을 다음과 같이 변경해 봐도 길이 안 보인다는 점이죠

그게 이 문제의 함정인거 같습니다.

이 방법은 아닌거 같아서 일단 원래의 조건식으로 돌아가 봅시다.

맨뒤의 괄호를 풀어서 다르게 접근을 해 봅시다.

이제 이식을 ,기준으로 그리고 ,기준으로 정리해 봅시다.

이 조건식을 좌변과 우변 기준으로 인수분해해 봅시다.

이렇게 정리가 되니 알겠습니다. 

위 등식이 성립하기 위해서는 이 되어야 합니다. 넘겨서 인수분해 해 보면 더 확실해 집니다.

에서

주어진 조건에 따라 이므로 입니다.

따라서