2. 에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 이라 하고, 에 대한 다항식 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 라 하자. 가 되도록 하는 두 실수 ,에 대하여 의 값을 구하라.
단
3. 을 31로 나눈 나머지를 , 33으로 나눈 나머지를 라 할때, 의 값을 구하시오.
1. ㄴ
일단 나머지 정리를 기초로 식입니다. 나머지 정리 항등식은 굉장히 중요합니다. 차근히 접근하셔야 하며 기본적인 나머지 정리 항등식을 써 놓고 잘 써야 합니다.
ㄱ.
일단 조건부터 나머지 정리 항등식으로 나타냅니다. 를 로 나눈 몫을 , 나머지를 라 하면 나머지 정리 항등식에서
일단 써 놓고 보니 와 의 형태가 비슷하므로 로 치환해서 위의 나머지 정리 항등식을 다시 쓰면
여기에서 ,는 일반적인 함수 정의역을 나타내는 문자이므로 도 일반적인 로 표현해 봅시다.
나누는 식의 차수에 따라 차수가 확실하게 결정되는 나머지와는 달리 몫은 정확하지 않습니다. 그래서 여기에서 , 가 항상 같다고 할 수 없습니다. 그래서 ㄱ은 틀린 선택지가 됩니다.
ㄴ.
ㄱ 선택지를 판단할때 썼던 나머지 정리 항등식을 다시 봅시다.
여기에서 나누는 식이 로 1차입니다. 따라서 나머지 는 상수입니다.
이라 한다면 위의 항등식은 다음과 같이 변형이 되고 수치대입법에 따라 에 2를 대입해 보면
마찬가지로
를 로 나누는 경우도 생각해 보면 나머지로 잡힌 도 상수입니다.
라 하고 수치대입법에 따라 에 0를 대입해 보면
따라서 나머지는 서로 같습니다. ㄴ 선택지는 맞는 말입니다.
ㄷ.
마찬가지로 나머지 정리 항등식을 써서 접근해 봅시다.
를 로 나눈 몫을 나머지는 1차식이므로 라 하면
지금 몫인 가 가장 문제죠 이녀석을 없애 봅시다. 수치대입법으로 에 2 또는 -2를 대입해서 식을 만들어 봅시다.
이면
이면
위 두 조건식을 연립 방정식으로 풀어보면
,
따라서 나머지는 상수입니다. 일차식이 아닙니다. 그래서 ㄷ은 틀린 선택지입니다.
2. 11
일단 나머지 정리 문제는 나머지 정리 항등식에서부터 시작된다는 사실을 잊지 맙시다. 우선적으로 써 놓으시고 하셔야 합니다. 그럼 문제에 주어진 조건을 하나씩 적용해 봅시다.
두번째 조건도 마찬가지로 식으로 표현해 봅시다.
일단 둘다 나머지에 관한 값을 바로 구할 수 있으니 수치대입법으로 구해놓고 더 고민해 봅시다.
첫번째 조건식에서 를 대입하면
에서
같은 방법으로 도 구해 봅시다.
두번째 조건식에서도 를 대입하고 정리해 보면
그럼 조건식에서 에서
이제 정리해서 풀어 봅시다.
근데 이므로
이를 이용해서 나머지를 한문자로 정리해 봅시다.
에서
또한
에서
이제 어느정도 파악이 되었으니 주어진 나머지 정리 조건식을 다시 써 봅시다.
에서
또한 에서
자 이제 문제에서 요구한 식의 값을 찾기 위해 하나씩 대입해 보겠습니다.
에서
따라서
그럼 도 같은 방법으로 구해 봅시다.
따라서
이제 그럼 답은 나왔죠?
3. 15
이건 그냥 계산하기엔 계산의 양이 너무나 많습니다. 물론 계산의 신이면 답이 나오긴 하겠습니다만 우리 모두가 계산의 신은 아니므로 머리를 굴려 봅시다. 나누는 숫자는 2의 거듭제곱으로 나타나 있고 31과 33도 2의 5제곱인 32에서 1을 빼고 더한 값입니다. 어 ?? 그렇다면 로 치환해서 문자식으로 바라보도록 해 봅시다.
그럼 , 이라고 두고 각각의 나머지 정리식을 문자로 바꾸어 봅시다.
이제 31으로 나눌때의 관계를 나머지정리 항등식으로 표현해 봅시다.
에 1을 대입하면 나머지인 을 구할 수 있습니다. 대입해 보면
그럼 이제 33으로 나눌때의 관계를 나머지정리 항등식으로 표현해 봅시다.
에 -1을 대입하면 나머지인 을 구할 수 있습니다. 대입해 보면
하지만 자연수의 나눗셈이므로 나머지가 음수가 나올 순 없습니다.
다음의 예를 한번 볼까요?? 11을 9로 나누면 나머지는 2입니다.
근데 같은 식을 몫을 하나 더 키워 나타내어 보면
이 됩니다.
즉 음수로 나온 나머지는 실제 나누는 수인 9를 더하면 원래의 자연수 나눗셈의 나머지로 돌아오죠
따라서 위 문제에서는 33으로 나누었으므로 치환해서 나온 의 값에 33을 더한것이 나머지가 됩니다.
