다항식 고난도 문제 18회

1. 다항식 을 으로 나눈 나머지가 일 때, 상수 ,에 대하여 의 값을 구하시오.

2. 다항식 가 으로 나누어떨어질 때, 다항식 을 로 나눈 나머지를 구하시오.

3. 다항식 가 으로 나누어떨어질 때, 상수 ,에 대하여 의 값을 구하라.

1. -6

늘 강조하듯이 나머지 정리 문제는 우선 나머지 정리 항등식부터 써 놓고 생각해야 합니다. 불변의 진리니 우선 써놓고 생각합시다.

일단 몫인 이 보기가 싫고 또한 위 등식은 항등식이므로 에 를 대입해 봅시다.

그럼 위 식에서 이므로 양변을 으로 나누면

어?? 그럼 일단 를 로 표현해 낼 수 있으므로 좌변의 식을 변형해 봅시다.

이제 위 식을 잘 보고 인수분해를 해 봅시다.

이렇게 바꾸어 놓고 보니 식의 양쪽에 공통 인수인 가 존재합니다. 공통 인수는 나누어주고 좀더 다듬어 봅시다.

공통인수를 나누어서 정리해 봅시다.

자 다시  에 를 대입하면 를 고려하지 않아도 됩니다. 

따라서 

그리고

에서 

그래서 

2. 

마찬가지로 나머지 정리 문제입니다. 일단은 나머지정리 항등식을 써 놓고 생각해 봅시다.

에 ,를 대입해서 일단 함수값을 구해 봅시다.

따라서 

자 그럼 문제에서 요구한 나머지 정리식을 한번 써 보고 위에서 구한 조건을 활용가능한지 판단해 봅시다.

일단 몫인 를 없애야 하므로 에 ,를 대입해 봅시다.

어?? 이렇게 정리해 놓고 보니 위에서 구한 조건을 그대로 사용할 수 있네요 그럼 구해 봅시다.

에서 

따라서 나머지는

3. 7

지긋지긋하죠?? 또 나머지 정리 항등식을 써 봅시다.

그럼 일단 몫인 를 없애야 하므로  에 를 대입해 봅시다.

왠지 2번이랑 문제가 유사합니다. 위 식을 에 대해 풀어 봅시다.

자 이 조건을 맨 처음의 나머지 정리 항등식에 대입해 봅시다.

자 이제 여기에서 에 대해 풀어 봅시다. 그리고 하는김에 인수분해도 해 봅시다.

2번 문제 풀이랑 비슷합니다. 공통인 로 나누어 봅시다.

에서

이제 다시  에 를 대입해 봅시다.

 

따라서  위의 조건식인 에서 

따라서