I. 다항식 고난도 문제 13회

1. 다항식 가 있다. 이 아닌 모든 실수 에 대하여 등식  이 성립할 때, 

의 값을 구하시오. (단 , ,는 상수이다.)

2. 모든 실수 에 대하여 다음의 등식이 성립할때, 보기에서 옳은 것만을 있는대로 골라라.

ㄱ.

ㄴ. 

ㄷ.의 값은 홀수이다.

3. 아래 그림과 같이 여덟 개의 정삼각형으로 이루어진 정팔면체가 있다. 여섯 개의 꼭지점에는 자연수만 적고 여덟개의 정삼각형의 면에는 각각의 정삼각형의 꼭지점에 적힌 세 수의 곱을 적는다. 여덟개의 면에 적힌 수들의 합이 105일때, 여섯개의 꼭짓점에 적힌 수들의 합을 구하여라.

1. 54

그냥 대입할려니 골머리가 아픈 문제입니다. 늘 제가 하는 얘기지만 계산에 자신이 있으시면 그냥 대입하셔서 비교하셔도 됩니다. 일단 여기서 눈여겨 봐야할 부분은니다. 이 부분을 치환하면 뒤에 나타는 을 치환한 문자로 나타낼 수 있다가 생각의 핵심입니다. 하지만 함수 표현의 괄호안인 정의역 부분은 간단한 문자 하나로 나타내는게 좋습니다. 따라서 치환은 를 로 치환하는게 좋겠죠 그럼 치환해서 계산해 봅시다.

라 하면  곱셈공식의 변형에서

 이렇게 되었다면 문제에 주어진 등식을 치환된 상태에서 접근해 봅시다.

에서 

 이잉?? 이식을 정리하면 그냥 함수가 구해져 버리네요

자 이제 문제에서 요구하는 식의 값을 구해 봅시다.

 계수비교해서

따라서 

2. ㄱ, ㄴ, ㄷ

보기에 따라서 어려운 문제로도 보일 수 있지만 차근하게 잘 따라가시면 어렵지 않습니다. 염두에 두어야 할 사실은 항등식은 계수비교법이나 수치대입법으로 풀고 경우에 따라 두 방법을 조합할 필요가 반드시 있다는 점입니다. 그리고 이런 문제는 되도록 ㄱ->ㄴ->ㄷ-> 순서대로 접근하시는게 좋습니다. 출제자들도 순서대로 접근하라는 의미로 두는 경우가 많습니다. 

ㄱ.

에 대한 항등식이므로 양변의 차수가 같아야 합니다. 우변의 은 최고차항의 계수입니다. 좌변에서 최고차항인 의 계수가 1이므로 

ㄴ. 

주어진 부등식을 변형해 봅시다. 주어진 항등식 조건식과 유사점을 조금이라도 찾아야 하기 때문에요. 변형하면

이 부등식을 증명하는게 됩니다. 

부등식의 좌변은

입니다 근데 이 식은 주어진 조건식의 에 -2를 대입한 것과 같습니다.

따라서

따라서 주어진 부등식은 성립합니다.

ㄷ.

ㄴ. 선택지에서 파생되는 문제입니다. ㄴ선택지를 풀때  에 -2를 대입해서 식을 구했습니다. 

이런류의 타입 많이 볼꺼라고 말씀드렸었죠?? 홀짝에 따라 부호가 바뀌는것 그럼이제 에 무엇을 대입하면 될까요?? 계수를 1로 만들면 되니까  에 0을 대입합니다. 그럼

위의 두 식을 더해 봅시다. 그럼 짝수 첨자의 항의 합만 남습니다. 

따라서

따라서 의 값은 짝수+홀수 이므로 홀수이다.

3. 15 

일단 시작을 어떻게 해야할지 감이 잘 서지 않습니다. 조건은 너무나 적기 때문이죠 일단 꼭지점에 자연수가 있고 그 자연수의 곱이 입체도형의 평면에 나타난다고 되어 있으므로 일단 꼭지점에 6개의 자연수를 배치하고 면의 합을 식으로 우선 나타내어 봅시다.

자연수나 정수의 방정식은 최대한 곱을 활용해야 합니다. 곱으로 나타내는 것은 핵심이 인수분해기 때문에 차근하게 공통인수가 있는지 찾아봐야 합니다.

여기서 또 두개씩 묶으시면 공통인수가 보이시죠??

이렇게 해 놓으니 다 곱으로 나타났습니다. 이제 105를 소인수분해해 봅시다.

 이제 등식을 한번 정리해 볼까요?

어떤 부분이 3이고 5이고 7일지는 모르겠습니다만 6개 점의 합은 구할 수 있습니다. 이게 문제에서 구해야하는 값이구요